Contoh Soal Dan Jawaban Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

1.   Dua mata dadu, dilemparkan sebanyak 3 kali. Berapakah peluang untuk mendapatkan dadu yang bernilai 7 sebanyak 2 kali dari 3 kali pelemparan ini ?

Jawab :

Sukses (x) = muncul mata dadu berjumlah 7.

n = 3

p = 1/6

P( x = 2|3, 1/6) =  x 1/6² . 5/6¹ = 5/72

Jadi, peluang untuk mendapatkan mata dadu bernilai 7 sebanyak 2 kali dari 3 kali pelemparan adalah 5/72.

2.   Suatu ruangan aula yang besar, memiliki 3 lampu merah dan 5 lampu putih. Saklar dari lampu-lampu itu disusun secara acak. Seseorang ingin menyalakan lampu dan akan menekan saklar sebanyak 4 kali. Berapa probabilitas ia menyalakan 2 lampu dari 4 kali ia menyalakan lampu ?

Jawab :

Sukses (x) = 2

n  = 4

p  = 3/5

P (x = 1|4, 3/8) =  x 3/8¹ . 5/8² = 0,88

Jadi, probabilitas ia menyalakan 2 lampu merah dari 4 kali menyalakan ialah 0,88.

3. Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?

Jawab :

p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4
Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x
b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)
= 0,0975

4. Peluang Ronaldo mencetak gol lewat tendangan penalty adalah 0,8. Jika dalam 4 kali penalty tentukan peluang ronaldo mencetak tepat 3 goal

a. Tanpa menggunakan rumus distribusi binomial

b. dengan menggunakan rumus distribusi binomial

J A W A B

a. Tanpa menggunakan rumus distribusi binomial

Perhatikan gambar di atas, bola merah menunjukkan terjadinya gol

Banyaknya permutasi dari 4 bola adala h 4!3!=44!3!=4

P(3gol)=4(0,2)(0,8)(0,8)(0,8)P3gol=40,20,80,80,8

=256625 =256625

b. dengan menggunakan rumus distribusi binomial

peluang berhasilnya mendapat gol adalah p=0,8p=0,8 dan gagalnya q=0,2q=0,2

P(kA)=Cnk.pk.qn−kPkA=Ckn.pk.qn-k →→ P(3gol)=C43(0,8)3(0,2)4−3P3gol=C340,830,24-3

=4(0,8)(0,8)(0,8)(0,2)=40,80,80,8(0,2)

=256625=256625

5. Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,1 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 3 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=3, n=4, p=0,1) -> b (3, 4, 0,1)

Rumus untuk b (x,n,p) adalah:
P (x)=       n!               P^x . (1-p)^(n-x)
             x! (n-x)!
         =       4!                0,1^3 . (1 – 0,1)^(4 – 3)
             3! (4-3)!
         = 4.3.2.1            0,1^3 .  0,9^1
             3.2.1 (1)

         = 0,0036

6. Misalkan suatu perusahaan memiliki karyawan yang baik sebanyak 30% dari jumlah total. Lalu pada suatu ketika, perusahaan tersebut akan mengirimkan 20 karyawannya untuk study banding ke luar negeri. Hitunglah peluang bahwa 4 orang dari 20 karyawan tersebut adalah karyawan yang dianggap baik.

Solusi:
    Dari soal diatas,  kita keahui bahwa
    p=0,3
    q=1-0,3=0,7
    n=20
    x=4
     maka,
    P(x=4)=20C4x(0,3^4)x(0,7^16)
               = 4845x(81/1000)x(3,323/1000)

   =0.13