Contoh Soal dan Jawaban Kombinasi

Kombinasi
Istilah kombinasi dalam matematika kombinatorik berarti himpunan objek yang tidak mementingkan urutan. Kombinasi berbeda dengan permutasi yang mementingkan urutan objek.
Kombinasi C dari sebuah himpunan S adalah himpunan bagian dari S.

${\displaystyle C\subseteq S}$

Banyaknya kombinasi r dari sebuah himpunan berisi n elemen dapat dihitung tanpa harus memperhatikan isi dari himpunan tersebut. Besarnya dinyatakan dengan fungsi:

${\displaystyle C_{r}^{n}={\frac {n!}{r!(n-r)!}}}$

Fungsi ${\displaystyle C_{r}^{n}}$ dalam banyak literatur dinyatakan juga dengan notasi ${\displaystyle {n \choose r}}$

1. Tentukan nilai dari:
a) 12C4
b) 10C3

pembahasan
a) 12C4

                 12!                      12!          12 . 11 . 10 . 9 . 8!            12.11.10.9
12C4 = _________________ = ________ = ______________________  = ___________________ = 495
           (12 − 4)! 4!              8! 4!        8 !    4 . 3.2.1                       4.3.2.1 

b) 10C3

                  10!                  10!               10 . 9 . 8 . 7!         10.9.8
10C3 = _______________ = __________ = _________________ =____________ = 120
           (10 − 3)! 3!            7! 3!             7 ! 3!                      3.2.1

2. 8 anak pada suatu acara saling berjabat tangan satu sama lain. Tentukan banyaknya jabat tangan yang terjadi!
pembahasan
Kombinasi dengan n = 8 dan r = 2
                  8!                    8!               8 . 7 . 6 ! 
8 C 3 = _____________ = __________ = _______________ = 28 jabat tangan
           (8 − 2)! 2!            6! 2!              6! 2.1 

3. Jika nC2 = 28 maka n = ...
Pembahasan
nC2 = 28
n (n - 1) = 56
n2 - n - 56 = 0
(n - 8) (n + 7) = 0
n = 8 atau n = - 7 (TM)

4. Jika nCn-2 = 21 maka n = ...
Pembahasan
nCn - 2 = 21
n (n - 1) = 21 . 2
n2 - n - 42 = 0
(n - 7) (n + 6) = 0
n = 7 atau n = - 6 (TM)

5. Dalam suatu seleksi peneriamaan karyawan suatu perusahaan, 5 orang pria dan 4 orang wanita dinyatakan lulus sebagai calon pegawai. Jika perusahaan hanya membutuhkan 2 orang pria dan 2 orang wanita, maka banyak cara perusahaan memilih karyawannya adalah...


Pembahasan
5C2 = 5! / 2! (5 - 2)! = 10
4C2 = 4!/ 2! (4 - 2 )! = 6
Banyak cara = 10 . 6 = 60

Contoh Soal Dan Jawaban Distribusi Binomial

Distribusi Binomial

Dalam teori probabilitas dan statistika, distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskret jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik.
Distribusi ini seringkali digunakan untuk memodelkan jumlah keberhasilan pada jumlah sampel n dari jumlah populasi N. Apabila sampel tidak saling bebas (yakni pengambilan sampel tanpa pengembalian), distribusi yang dihasilkan adalah distribusi hipergeometrik, bukan binomial. Semakin besar N daripada n, distribusi binomial merupakan pendekatan yang baik dan banyak digunakan.

1.   Dua mata dadu, dilemparkan sebanyak 3 kali. Berapakah peluang untuk mendapatkan dadu yang bernilai 7 sebanyak 2 kali dari 3 kali pelemparan ini ?

Jawab :

Sukses (x) = muncul mata dadu berjumlah 7.

n = 3

p = 1/6

P( x = 2|3, 1/6) =  x 1/6² . 5/6¹ = 5/72

Jadi, peluang untuk mendapatkan mata dadu bernilai 7 sebanyak 2 kali dari 3 kali pelemparan adalah 5/72.

2.   Suatu ruangan aula yang besar, memiliki 3 lampu merah dan 5 lampu putih. Saklar dari lampu-lampu itu disusun secara acak. Seseorang ingin menyalakan lampu dan akan menekan saklar sebanyak 4 kali. Berapa probabilitas ia menyalakan 2 lampu dari 4 kali ia menyalakan lampu ?

Jawab :

Sukses (x) = 2

n  = 4

p  = 3/5

P (x = 1|4, 3/8) =  x 3/8¹ . 5/8² = 0,88

Jadi, probabilitas ia menyalakan 2 lampu merah dari 4 kali menyalakan ialah 0,88.

3. Kepala bagian produksi PT SAMSUNG melaporkan bahwa rata - rata produksi televisi yang rusak setiap kali produksi adalah sebesar 15 %. Jika dari total produksi tersebut diambil secara acak sebanyak 4 buah televisi, berapakah perhitungan dengan nilai probabilitas 2 ?

Jawab :

p ( rusak ) = 0,15, q ( baik ) = 0,85, x = 2, n = 4
Rumus : b ( x ; n ; p ) = nCx px q n-x
b (x = 2 ; 4 ; 0,12 ) = 4C2 (0,15)2 (0,85)(4 – 2)
= 0,0975

4. Peluang Ronaldo mencetak gol lewat tendangan penalty adalah 0,8. Jika dalam 4 kali penalty tentukan peluang ronaldo mencetak tepat 3 goal

a. Tanpa menggunakan rumus distribusi binomial

b. dengan menggunakan rumus distribusi binomial

J A W A B

a. Tanpa menggunakan rumus distribusi binomial

Perhatikan gambar di atas, bola merah menunjukkan terjadinya gol

Banyaknya permutasi dari 4 bola adala h 4!3!=44!3!=4

P(3gol)=4(0,2)(0,8)(0,8)(0,8)P3gol=40,20,80,80,8

=256625 =256625

b. dengan menggunakan rumus distribusi binomial

peluang berhasilnya mendapat gol adalah p=0,8p=0,8 dan gagalnya q=0,2q=0,2

P(kA)=Cnk.pk.qn−kPkA=Ckn.pk.qn-k →→ P(3gol)=C43(0,8)3(0,2)4−3P3gol=C340,830,24-3

=4(0,8)(0,8)(0,8)(0,2)=40,80,80,8(0,2)

=256625=256625

5. Probabilitas seorang bayi tidak di imunisasi polio adalah 0,1 (p). Pada suatu hari di Puskesmas “X” ada 4 orang bayi. Hitunglah peluang dari bayi tersebut 3 orang belum imunisasi polio. Jadi, di dalam kejadian binomial ini dikatakan b (x=3, n=4, p=0,1) -> b (3, 4, 0,1)

Rumus untuk b (x,n,p) adalah:
P (x)=       n!               P^x . (1-p)^(n-x)
             x! (n-x)!
         =       4!                0,1^3 . (1 – 0,1)^(4 – 3)
             3! (4-3)!
         = 4.3.2.1            0,1^3 .  0,9^1
             3.2.1 (1)

         = 0,0036

6. Misalkan suatu perusahaan memiliki karyawan yang baik sebanyak 30% dari jumlah total. Lalu pada suatu ketika, perusahaan tersebut akan mengirimkan 20 karyawannya untuk study banding ke luar negeri. Hitunglah peluang bahwa 4 orang dari 20 karyawan tersebut adalah karyawan yang dianggap baik.

Solusi:
    Dari soal diatas,  kita keahui bahwa
    p=0,3
    q=1-0,3=0,7
    n=20
    x=4
     maka,
    P(x=4)=20C4x(0,3^4)x(0,7^16)
               = 4845x(81/1000)x(3,323/1000)

   =0.13

Contoh Soal dan Pembahasan Permutasi

Permutasi
Permutasi adalah penyusunan kembali suatu kumpulan objek dalam urutan yang berbeda dari urutan yang semula. Sebagai contoh, kata-kata dalam kalimat sebelumnya dapat disusun kembali sebagai "adalah Permutasi suatu urutan yang berbeda urutan yang kumpulan semula objek penyusunan kembali dalam dari." Proses mengembalikan objek-objek tersebut pada urutan yang baku (sesuai ketentuan) disebut sorting.

1)    Ada berapa cara bila 4 orang remaja (w,x, y, z) menempati tempat duduk yang akan disusun dalam suatu susunan yang teratur?

Jawaban:

4P4 = 4!

= 4 x 3 × 2 × 1

= 24 cara

2)    Menjelang Pergantian kepengurusan BEM STMIK Widya Pratama akan dibentuk panitia inti sebanyak 2 orang (terdiri dari ketua dan wakil ketua), calon panitia tersebut ada 6 orang yaitu: a, b, c, d, e, dan f. Ada berapa pasang calon yang dapat duduk sebagai panitia inti tersebut?

Jawaban:

6P2 = 6!/(6-2)!

= (6.5.4.3.2.1)/(4.3.2.1)

= 720/24

= 30 cara

3)    Sekelompok mahasiswa yang terdiri dari 10 orang akan mengadakan rapat dan duduk mengelilingi sebuah meja, ada berapa carakah kelima mahasiswa tersebut dapat diatur pada sekeliling meja tersebut?

Jawaban:

P5 = (10-1)!

= 9.8.7.6.5.4.3.2.1

= 362880 cara

4)   Berapa banyak “kata” yang terbentuk dari kata “STMIK”?

Jawab :

5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 buah kata

5)    Peluang lulusan PNJ dapat bekerja pada suatu perusahaan adalah 0,75. Jika seorang lulusan PNJ mendaftarkan pada 24 perusahaan, maka berapakah dia dapat diterima oleh perusahaan?

Jawaban:

Frekuensi harapan kejadian A adalah Fh(A) = n × P(A)

Diketahui P(A) = 0,75 dan n = 24. Maka:

Fh(A) = 24 × 0,75 = 18 perusahaan.

6)    Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?

Jawaban:

nPx = n!

3P3 = 3!

= 1 x 2 x 3

= 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX).

7)    Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?

Jawaban:

nPx = (n!)/(n-x)!

4P2 = (4!)/(4-2)!

= 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

8)    Berapa banyaknya permutasi dari cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi, sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.

Jawaban:

Jika salah seorang selalu duduk dikursi tertentu maka tinggal 7 orang dengan 3 kursi kosong.

Maka banyaknya cara duduk ada :

7P3 = 7!/(7-3)!

= 7!/4!

= 7.6.5

= 210 cara

9)    Ada berapa cara 5 gelas warna yang mengitari meja kecil, dapat menempati kelima tempat dengan urutan yang berlainan?

Jawaban:

Banyaknya cara duduk ada (5 – 1) ! = 4 ! ® 4. 3 . 2 . 1 = 24 cara.